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| Escrito por Mª Rosa Massa Esteve (Universitat Politècnica de Catalunya) | ||||||
 Aristarco de Samos1,
que floreció entre Euclides (aprox.
300 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.),
fue una de las raras excepciones que planteó ideas
heliocéntricas del Universo. Sin embargo,
en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna utilizó
la teoría geocéntrica. Aristarco
fue uno de los pioneros en escribir una
obra que calculaba los tamaños del Sol
y la Luna relacionándolos con los de
la Tierra y las distancias de ellos a
la Tierra.
Cuando
Aristarco escribió su obra (aprox. 230
a.C.) en la astronomía griega ya se
conocían teorías diversas sobre el
cosmos. Así podemos citar, por ejemplo,
a Tales (aprox. 624-547 a.C.), conocido como
astrónomo y que predijo y explicó las
causas de un eclipse de Sol, entendía
la Luna y el Sol como discos o cilindros cortos
que se comportaban como si flotaran en el agua
[Heath, 1981b, pp. 137-138]. Tannery compara
esta visión del universo de Tales con
la que se encuentra en los papiros
egipcios [Tannery, 1990, p. 74].
Algunas
ideas diferentes fueron presentadas por Pitágoras
(aprox. 572-497 a.C.) y sus seguidores, quienes
reconocieron que la Tierra era una esfera y
que Venus, la estrella vespertina, era
el mismo planeta que Venus, la
estrella matutina. El movimiento de la
Tierra así como el del Sol, la Luna y
los planetas alrededor de un fuego
central fue también una teoría
atribuida a un discípulo de Pitágoras,
Filolao de Crotona (aprox. 470 a.C.)
[Berry, 1961, pp. 24-25].
Posteriormente,
Eudoxio (aprox. 408-355 a.C.) propuso una teoría
de esferas homocéntricas para describir
el movimiento de los cuerpos celestes. Supuso
que la Tierra permanecía inmóvil en
el centro y que los planetas (incluyendo el Sol y la Luna) ejecutaban
movimientos circulares alrededor de ella. Eudoxio las consideró
esferas encajadas y concéntricas con la Tierra: tres esferas para el
Sol, tres para la Luna y cuatro para cada uno de los otros planetas
con diferentes velocidades de rotación y ejes de giro. También
construyó un observatorio en Cnido, observó las estrellas y escribió
un libro sobre la salida y la puesta de las constelaciones.
Aristóteles
(aprox. 384-322 a.C.), cuyos textos tuvieron
gran influencia, analizó las realidades
observables y reconstruyó la teoría
del universo integrando en su cosmología
muchas de las ideas de sus predecesores tales
como el geocentrismo, el marco estructural
del universo de las dos esferas, el
principio platónico
de movimiento circular y uniforme de los cuerpos
celestes y, además,
se apropió de la teoría presocrática
de los cuatro elementos [Puig Pla, 1996, pp.
41-55]. Estableció las bases de lo que
hoy llamamos física antigua y
las líneas básicas de su doctrina
fueron aceptadas como dogma durante
unas sesenta generaciones. Las fuentes
disponibles que hacen referencia a los principios
de filosofía natural de Aristóteles
son los ocho libros de Física.
Las cuestiones astronómicas
se discuten sobre todo en los cuatro libros
del De Caelo y en la Meteorología. De
hecho la práctica totalidad de los
astrónomos griegos, árabes
y cristianos aceptaron, de forma implícita
o no, las premisas fundamentales de la
cosmología aristotélica: el carácter
cerrado y finito del cosmos, la
inmovilidad de la Tierra en el centro
del universo y la diferencia esencial
entre las dos regiones: la celeste (supralunar)
y la terrestre (sublunar).
Aristarco que nació
en la isla de Samos el 310 a.C. fue
discípulo de Estratón de Lampsaco,
tercer director del Liceo, la escuela
fundada por Aristóteles. Sin embargo,
se cree más probable que Aristarco
estudiara con Estratón en
Alejandría, y no en Atenas, ya que Estratón
fue nombrado director del Museo de
Alejandría en el año 287 a.C. [Sthal,
1970-1991, Wall, 1975, Maeyama, 1984 y
Goldstein & Bowen, 1991].
No se conoce casi
nada de su vida. Las escasas
informaciones de que se dispone están
determinadas por las citas halladas en textos
posteriores y por la obra que nos dejó.
Así, Ptolomeo (aprox. 85
-165), en su obra Almagesto (150), llamada también Sintaxis Matemática,
explica que Aristarco observó el
solsticio de verano en el año 280
a.C.. Ptolomeo, en el apartado primero
del libro III de su obra, describe
también los procedimientos de
Aristarco para determinar la longitud del
año solar [Ptolemy, 1984, pp. 137-139].
Posteriormente, Nicolás Copérnico
(1473-1543) en su obra De Revolutionibus orbium coelestium libri VI
(1543) explica las observaciones
realizadas por Aristarco en
Alejandría con Timocaris de Alejandría
(aprox. III a.C.) y Aristilo (discípulo
de Timocaris). En el capítulo
II del tercer libro, Copérnico relata
las observaciones de los equinoccios y solsticios
bajo el título: “Historia de las
observaciones que comprueban la irregular precesión
de los equinoccios y los solsticios” y
cita a Aristarco y a Timocaris. Concluye que
“desde Timocaris a Ptolomeo, en
comparación con los restantes tiempos,
el movimiento aparente de precesión
de los equinoccios se descubrió más
lento”. En el capítulo VI de este
mismo libro, Copérnico vuelve a
describir los movimientos regulares de
la precesión de los equinoccios,
citando de nuevo a Aristarco,
Timocaris y Aristilo. Finalmente, en el capítulo
XIII del mismo libro tercero, Copérnico
describe los cálculos
realizados por diversos astrónomos,
entre ellos Aristarco, para determinar la magnitud
del año solar [Copérnico, 1987,
pp. 151-154,162-169 y183-187].
Aunque fue
reconocido como astrónomo en las obras
anteriores, Aristarco en su época fue llamado el “matemático”,
y citado como uno de los pocos hombres que
tenían un profundo conocimiento de
todas las ramas de la ciencia: geometría, astronomía, música,… Así Vitruvio (s. I a.C.) lo menciona en el Capítulo I del primer libro de la obra De Architectura (35-25 a.C.) titulado “De la esencia de la Arquitectura” [Vitruvio, 1787, p. 8]:
Según Tannery
(1995, Vol. I, p. 373), Vitruvio explica
también que Aristarco había
construido dos relojes de Sol, uno
hemisférico y otro plano. Por otro
lado, no tenemos ninguna duda de que era un
geómetra muy capaz, como queda probado
en el trabajo de astronomía que nos
ha legado. También escribió sobre
visión, luz y colores. Decía que los
colores eran “formas estampando el
aire con impresiones de cómo eran ellas
mismas”.
No
obstante, Aristarco es sobre todo conocido
por ser el “antiguo
Copérnico”. Hay unanimidad en afirmar
que Aristarco fue de los primeros en
presentar la hipótesis heliocéntrica. Arquímedes (Archimède, 1971, p.
135), contemporáneo suyo, lo afirma en un pasaje de su obra Arenario (216 a.C.),
En
este texto se deduce que Aristarco suponía
que las esferas de las estrellas y el Sol permanecían
en el espacio sin moverse y que la Tierra
giraba alrededor del Sol. Aristarco
comparaba la esfera de las estrellas
fijas con la órbita de la Tierra. En
este sentido también lo cita Plutarco
(aprox. 46-125) en un tratado de sus Obras Morales titulado: Sobre la cara visible de la Luna, se suele citar como Moralia 923 A [Chermiss- Helmbald, 1957, p. 55]:
Plutarco comenta que
Cleanthes creía que se debería atacar a
Aristarco por desplazar la Tierra del
centro del universo o sea que, en aquella época,
se suponía que Aristarco asumía,
en sus teorías, el movimiento de la Tierra.
Sin embargo, a pesar de estas referencias, Aristarco
en su obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna no
presenta la hipótesis heliocéntrica. Es
probable que esta hipótesis le viniera
sugerida al comprobar, en su obra, que
el Sol es mucho más grande que la Tierra
y la Luna y se encuentra mucho más
lejos de la Tierra que la Luna. Veamos
el contenido de esta obra con más
detalle.
Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna
La obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna, según cuenta Pappus,se encontraba en una colección de textos, llamada Pequeña Astronomía, juntamente con las obras: Sobre la esfera en movimiento de Autólico de Pitania (aprox. 320 a.C.), la Optica y los Fenómenos de Euclides, las Sphaerics y De diebus et noctibus de
Teodosio (aprox. 107-43 a.C.) y otros
[Pappus, 1982, T. 2, p. 369].
La colección Pequeña Astronomía constituía
un curso de introducción a la gran
astronomía que, de hecho, estaba
representada por la obra Almagesto de
Ptolomeo. Todos estos textos se encontraban
escritos en griego, así como en árabe.
Una traducción del griego al árabe
la hizo Luqa al-Balabakki que murió en
912. Más tarde, Nasir al-din al-Tusi
(1201-1274) hizo una recensión de todos
los libros de Pequeña Astronomía. La
primera edición de la obra fue una traducción
latina de George Valla en 1488 (una
segunda edición en Venecia,1498) y, a
partir de esta fecha, se sucedieron
diversas traducciones, la latina de
Commandino (1572) (ver Figura 1), una
edición griega de John Wallis
(Oxford,1688), una edición greco-latina
de Fortia d'Urban (Paris, 1810), seguida por
una traducción francesa del mismo autor,
en 1823 y en Oxford, en 1913, una edición
griega con la traducción
inglesa de Thomas Heath.
 FIGURA 1. Portada de Commandino.
Para
nuestra traducción (ver Figura 2) hemos
utilizado la edición latina de Commandino
y la edición greco-inglesa de Heath,
ya que esta traducción inglesa está hecha
a partir de un manuscrito griego del Vaticano,
del texto de Wallis y de la traducción
francesa de Fortia d'Urban. El texto griego
que aparece en el mismo libro de Heath
ha sido utilizado por el profesor
Joaquín Ritoré para revisar esta
traducción al castellano. Para
ilustrar las proposiciones se han reproducido
las figuras que aparecen en la edición
latina de Commandino que, en algunos casos,
presenta letras distintas del texto griego
publicado en Heath. Para la traducción
de los comentarios de Pappus de su Colección Matemática (Capítulo
XXXVII del libro VI) hemos utilizado
la traducción francesa de Paul ver
Eecke de 1982, revisándola con el
texto latino de Commandino y con la
traducción inglesa de Heath.
 FIGURA 2. Portada de nuestra traducción.
Una
valoración integral de esta obra de
astronomía ha de considerar la estrecha
relación que tuvieron los inicios de
la astronomía con los orígenes
de la trigonometría, aspecto, éste,
que contribuye a su mejor comprensión.
En el texto, Aristarco se plantea problemas
de geometría plana cortando las esferas
del Sol y de la Luna en círculos máximos.
Para resolver los problemas geométricos,
recurre a relaciones, consideradas hoy como
trigonométricas, entre ángulos
y lados de un triángulo. Los ángulos
los expresa como fracciones de ángulo
recto y escribe las razones trigonométricas
como razones entre los lados de los triángulos;
así puede determinar las cotas superiores
e inferiores del valor que busca. Las
proposiciones geométricas que
Aristarco emplea se encuentran
mayoritariamente en los Elementos de
Euclides. La teoría de proporciones
de Eudoxo del libro V de los Elementos es
utilizada constantemente y sus propiedades
de invertir, alternar, componer y multiplicar
son aplicadas tanto para proporciones de
igualdad como de desigualdad.
Aristarco se basa también
implícitamente en otras relaciones,
que para nosotros son trigonométricas,
como si las conociese o las considerase triviales.
Aristarco
parte de seis hipótesis
sobre los tamaños y las distancias a
los astros, y a través de dieciocho
proposiciones, demuestra tres tesis.
Las hipótesis de las que parte se
pueden agrupar en dos bloques: uno,
para las tres primeras que son descriptivas
y otro, para las tres restantes que son además
cuantitativas. El contenido de las tres primeras
podríamos enunciarlo así: la
primera afirma que La Luna recibe su luz del
Sol, la segunda explica que La Tierra representa
el centro de la esfera en la que se
mueve la Luna, y la tercera nos
describe que el círculo máximo que
delimita las partes de oscuridad y
claridad en la Luna está en el campo
de visión de nuestro ojo. Estas
hipótesis, pues, no aportan ningún
ángulo, ninguna medida, sino que
describen las posiciones de los
astros. Las otras tres hipótesis
proporcionan medidas obtenidas probablemente
por observación. Así, la cuarta
implica que cuando la Luna forma
ángulo recto con el Sol y la Tierra,
el ángulo de visión de la Luna desde
la Tierra es de 87º, ya que el otro
ángulo del triángulo
rectángulo mide una treintava parte
(1/30) de un cuadrante (90º),
es decir 3º; la quinta nos proporciona
el tamaño de la sombra de la
Tierra que es dos veces la Luna, y la sexta
y última nos explica que la Luna
es vista desde la Tierra, formando un
cono, con un ángulo de 2º, que es una
quinceava parte de un signo del zodíaco
(30º).
Las
tres tesis, que enuncia al principio del libro,
son: la primera, la distancia desde la Tierra
al Sol es mayor que dieciocho veces, pero
menor que veinte veces, la distancia
desde la Tierra a la Luna; la segunda,
el diámetro del Sol está en la misma
razón que el diámetro de la Luna, y la
tercera, el diámetro del Sol
tiene con respecto al diámetro de la
Tierra una razón mayor que
la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6.
Estas tres tesis las demuestra en las proposiciones
nº 7, nº 9 y nº 15,
respectivamente.
La
proposición nº 7 afirma que la
distancia desde la Tierra al Sol es
mayor que dieciocho veces, pero menor
que veinte veces la distancia desde la Tierra
a la Luna.
 FIGURA
3. Ilustración de la proposición
nº 7 (Aristarco de Samos, 2007, 112)
Aristarco
construye un triángulo rectángulo con vértices
en los centros de la Tierra (B), de la Luna
(C) y del Sol (A) con ángulos dados
o sea conocidos por observación. Como
la Luna se nos muestra partida en dos, el
ángulo BCA es recto, el ángulo ABC es
de 87º (por observación) y el CAB es
de 3º. De hecho, demuestra que:
1/18 > sin 3º = CB : AB > 1/20, siendo CB la distancia Luna-Tierra, AB la distancia Sol-Tierra y interpretando aquí la razón de las distancias como el seno del ángulo complementario al comprendido entre ellas.
Con
este planteamiento, hemos de destacar las cuatro
estrategias matemáticas
necesarias para el desarrollo de la demostración de la primera
desigualdad: el paso del análisis del problema del triángulo
Sol-Tierra-Luna a un triángulo semejante; la utilización de la
relación, como si fuera trivial, entre las tangentes (expresión
actual) y los ángulos (tg α : tg β > α : β, con α, β ángulos del
primer cuadrante); el establecimiento de una proporción entre los
segmentos que determina la bisectriz de un ángulo y los lados del
triángulo (aplicando la proposición VI.3 de los Elementos) y,
la última, la aproximación de √2 por 7:5. Al final traslada el
resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC
inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB > 18 CB.
Para
la segunda desigualdad, Aristarco trabaja también
con el triángulo semejante anterior
y construye otra circunferencia tomando la
hipotenusa como diámetro. Utiliza
el lado de un hexágono inscrito en la
circunferencia para relacionar su arco de
circunferencia con el de la cuerda
determinada por el lado opuesto al
ángulo de 3º. En este caso tiene en
cuenta que el ángulo inscrito vale la
mitad del arco que abarca y así puede
establecer una proporción de
desigualdad entre los arcos de circunferencia
y las cuerdas. Destaquemos que otra vez está suponiendo
cierta una relación trigonométrica
entre los ángulos y
sus senos (α : β > sin α : sin β, con α,
β ángulos del primer cuadrante).
Nuevamente traslada el resultado obtenido en
el triángulo semejante,
al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna
y concluye que AB < 20 CB.
Aristarco
explica en la segunda tesis que el diámetro
del Sol está en la misma razón
que el diámetro de la Luna.
Esta tesis la demuestra en la proposición
nº 9: el diámetro del Sol es
mayor que dieciocho veces el diámetro
de la Luna, pero menor que veinte veces éste.
La demostración se basa en el resultado
de las distancias demostrado en la proposición
anterior. Dibuja un cono con nuestro ojo en
el vértice, cuya base es el círculo
máximo del Sol
obtenido cortando por un plano su esfera.
Entre nuestro ojo y el círculo del
Sol, se encuentra el círculo de la
Luna, también obtenido cortando su
esfera por un plano. A continuación,
establece una proporción entre, por un
lado, las distancias de la Tierra al
centro del Sol y de la Tierra al de la Luna
y, por otro, los radios del Sol y de la Luna.
Mediante la construcción
de dos triángulos semejantes obtenidos
cortando el cono por un plano, toma como lados
de los triángulos las distancias y los
radios. Entonces puede establecer esta proporción
por Euclides (VI.4): “En los
triángulos de ángulos iguales,
los lados que comprenden los ángulos
iguales son proporcionales” [Euclides,
1994, p. 62]. Por lo tanto, la relación
entre las distancias del apartado anterior
es la misma que entre los radios y en consecuencia,
la misma que entre los diámetros.
Aristarco
demuestra su tercera tesis en la proposición
nº 15, que relaciona el Sol
con la Tierra: el diámetro del Sol tiene
con respecto al diámetro
de la Tierra una razón mayor que la
de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Para
ello, utiliza la razón entre las distancias
de la proposición nº 7,
las hipótesis nº 5 y 6, sobre el
tamaño de la sombra de la Tierra y
sobre el ángulo de 2º del cono que
subtiende la Luna, respectivamente.
El
texto constituye una colección coherente de
proposiciones, con una descripción
correlativa de las ideas que quiere mostrar,
teniendo siempre presente sus objetivos, es
decir, calcular los tamaños y las distancias
de los astros. Las proposiciones
constituyen ejercicios matemáticos con
operaciones entre razones y con
construcciones singulares de figuras
que nos muestran la gran calidad de
este matemático. Es un texto rico y
bien estructurado y, a nuestro entender,
sus demostraciones son impecables en cuanto
al rigor.
Sin
embargo, su rigor en el razonamiento no fue
acompañado de observaciones correctas,
así observó un ángulo
de 87º, cuando en realidad es casi de
90º. De hecho Pappus en su comentario
señala que Aristarco deduce las
relaciones anteriores de sus suposiciones
y observaciones y afirma que al cambiar las
suposiciones también cambiaron
las medidas obtenidas.
El texto de Aristarco proporciona
pasajes de geometría para su uso en el
aula muy instructivos [Massa, 2005,
95-101]. El texto permite remarcar fundamentalmente
dos ideas: la aplicación de la trigonometría
al cálculo de distancias y el lazo de
la trigonometría con su herramienta
base: la geometría. Más allá de
las ideas matemáticas, el interés
de la obra de Aristarco radica también
en la presentación de un método
riguroso de cálculo de distancias relativas
Tierra-Sol, Tierra-Luna que contribuyó 230
a.C. a un mayor conocimiento astronómico.
BIBLIOGRAFÍA
Obras originales de la matemática griega en español
Otras obras relacionadas con Aristarco
Nota:
1 Esta biografía se presenta con motivo de la publicación en 2007 por parte del Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz de mi traducción castellana. La traducción va acompañada de una introducción donde presento un análisis de la obra y del personaje. Los objetivos de la traducción son dos: por una parte, aportar un texto que pueda ser útil para los investigadores de historia de la ciencia, para los profesores de matemáticas y de astronomía y por otra, contribuir a la divulgación de esta obra merecedora de contar entre aquellas que ayudan a un mejor conocimiento de la historia de la astronomía. Es uno de los pocos textos que conserva íntegra cada proposición con sus demostraciones y figuras y del cual no conocíamos ninguna traducción castellana. |
| Aristarco de Samos (310 a.C.-260 a.C,) |  |
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