| Una Formulación Matemática
de los Harmogramas y de la Fuerza de los Números en las Cartas Astrales
por Miguel García Ferrández |
Abstract
Empezando con una perspectiva histórica, se presenta el equivalente matemático del cálculo de Harmogramas, en términos del espectro de Fourier de ciertas funciones especiales. Se emplea el Análisis de Fourier para formalizar una técnica astrológica dentro de la Teoría Armónica de John Addey, y otra fuera. Las herramientas matemáticas presentadas se aplican a la discusión de algunos puntos obscuros o imprecisos en la investigación y en la práctica armónicas, especialmente al papel de la conjunción en los conjuntos de aspectos armónicos, y al problema de los orbes. Un hilo conductor a lo largo del artículo es la percepción del autor de la relevancia que tiene la Teoría de Fourier como paradigma desde el que modelizar la Astrología. En el Apéndice Uno se dan los detalles matemáticos de las funciones especiales usadas. El Apéndice Dos -casi una postdata- presenta la formulación del Indice Cíclico como harmograma.
Introducción. Los Harmogramas en Perspectiva
Un Harmograma (Kollerstrom & O'Neill, 1991) es un gráfico de la evolución temporal de la fuerza de los números, que se calcula a partir de los aspectos armónicos (derivados de la división del círculo en partes iguales, armónicos no quiere decir 'armoniosos') entre las posiciones de los planetas en el cielo. Un elemento central en ellos (que habitualmente se dibuja en el centro) es una marca en el momento de nacimiento de alguna entidad que es el objeto del harmograma. Siendo programador e investigador sobre los armónicos, construí hace varios años un módulo para calcular y dibujar harmogramas (aunque, por entonces, desconocía el nombre), un ejemplo de los cuales se muestra en la figura 1.
Figura 1.- Harmograma en el entorno de un nacimiento
En la figura 1 se puede ver la evolución de la fuerza de los once primeros números naturales en las proximidades de un nacimiento, y el punto de inserción del nacimiento propiamente dicho. Cada línea en esta figura es la traza de un número armónico. Un colega (T. Maciá) y yo estamos experimentando actualmente con esta herramienta, como medio para asignar personas (famosas y no famosas) al número dominante, con cierto éxito.
Llegué a mi primera versión de harmograma partiendo de la idea de tránsitos armónicos (Maciá & García, Peñíscola 1994). Al acercarnos a la fecha de nacimiento -para investigar el entorno armónico de una carta-, todos los armónicos se disparan porque los planetas transitantes están próximos a las posiciones natales. Así que suprimí los aspectos de tránsito al radical y tomé en consideración sólo los aspectos en el cielo, es decir, redescubrí los harmogramas.
En cualquier caso, no estoy reclamando derechos de prioridad. Puedo rastrear la idea de dibujar alguna medida de la intensidad de los aspectos planetarios en función del tiempo hasta Lambert Brahy en el libro La Clef des Evenements Mondiaux. La idea de aspectos armónicos se puede rastrear hasta Kepler. Además, el trabajo de Gouchon y Barbault con el índice cíclico se puede demostrar con facilidad que es un caso de harmograma del armónico uno de Júpiter hasta Plutón, con una función de intensidad -véase lo que sigue- de tipo sencillo (véase Apéndice Dos, y también García, 1991)
Pero, aún teniendo la herramienta disponible, no me interesé en los harmogramas, como medio para clasificar gente con el fin de investigar la esencia de los números armónicos, hasta que leí el libro de Kollerstrom & O'Neill. Así que algo en la investigación que hemos realizado T. Maciá y yo últimamente, empleando esta herramienta (Barcelona, 1997), está en deuda con su provocativo trabajo.
Armónicos
Mi interés por los armónicos empezó cuando -y creció rápidamente después de que- leí el trabajo fundamental de John Addey (Harmonics in Astrology, 1976) No mucho más tarde tuve acceso al excelente libro de David Hamblin (Harmonic Charts, 1983) que hace de la teoría armónica una herramienta práctica. Hamblin también hace una exposición muy lúcida de los puntos claros y obscuros de la teoría. Para mi discurso actual, el concepto interesante es el de carta armónica fuerte, que emplea Hamblin para seleccionar ejemplos para su libro.
Me adhiero completamente -desde un punto de vista técnico, como define Dean (1996), no desde un punto de vista metafísico- a la idea de Addey de que (casi) toda la Astrología puede explicarse como la manifestación de principios numéricos en el mundo sublunar (Maciá & García, Barcelona 1997). Así que me adscribo al programa implícito de Addey, que es -como yo lo percibo- que investigar la naturaleza intrínseca de los números debería figurar entre los objetivos principales de toda la investigación en astrología.
Ambas técnicas, harmogramas y cartas armónicas fuertes, son herramientas útiles para investigar la naturaleza armónica de los fenómenos astrológicos. Y ambas persiguen destacar los números que son fuertes en una carta. Pero ambas, como herramientas prácticas, tienen puntos débiles. Los harmogramas dependen de la función de intensidad utilizada para calcular la fuerza de los números (a lo largo de varios años he realizado un millar de pruebas, con cartas diferentes y con diferentes funciones, que me lo demuestran). El ojo entrenado del astrólogo experto (que Hamblin tiene sin duda) es un recurso escaso y elusivo. Un modelo matemático de [preferentemente] ambos sería una contribución bien venida. Creo que puedo hacerla. Pero antes es preciso introducir algunos conceptos.
Astrodinas: Funciones de Intensidad en el Círculo
La dina es una unidad de fuerza en Física. La fuerza es lo que causa el movimiento, de ahí la raíz 'dina' en 'dinámica' o 'dinamo'. Astrodinas podría traducirse por 'la fuerza de los astros [para producir movimiento] '. En esta exposición es esencial entender el concepto de función de intensidad de aspectos, lo que podríamos llamar astrodinas de aspecto, aspectodinas o armodinas.
En el análisis de los harmogramas, y en el del C-60, es necesario tener claro lo que entendemos por 'función de intensidad de aspectos': una función que a cada punto del círculo, que representa la separación angular entre dos planetas o puntos de la carta, le asocia un valor de fuerza, unas astrodinas. Casi siempre que se estudia una de estas funciones se trata de una función que es cero en la mayor parte del círculo; sólo en las proximidades de un aspecto -en el sentido habitual- es distinta de cero. A lo largo del texto se presentarán suficientes ejemplos.
Vector Armónico de una Colección de Puntos en el Círculo
Alrededor de la primavera de 1989, tuve una idea visualizando cómo los planetas de una carta podían hacer 'plink' en algún lugar de su ciclo diurno. "Un 'plink' en algún lugar de un círculo" es la versión en lenguaje común de la función matemática 'Delta de Dirac Periódica'. Así que empecé a jugar con el concepto, cambié al círculo zodiacal y llegué pronto a la formulación del Vector Armónico (AV): El espectro de Fourier de la suma de una Delta de Dirac por cada planeta de la carta (véase Apéndice Uno). Más tarde me informó un amigo de que A. Boudineau había propuesto una versión más simple denominada Resultante Planetaria (Boudineau, 1985). En efecto el primer término, descontando el armónico cero, de mi vector armónico.
Cada número armónico h tiene un par de valores en el VA, una amplitud A(h) y una fase W(h). Una pareja que denomino la coordenada h-ésima del vector armónico. Es una notación acorde con la teoría de espacios funcionales (Rudin, 1987). Por lo que a la Teoría de Espacios de Hilbert atañe, la coordenada cero requiere un tratamiento especial, que viene impuesto por la ortonormalidad de las funciones trigonométricas de base. He elegido un factor conveniente para que la Fórmula de Parseval -véase lo que sigue- resulte sencilla.
Mi trabajo con el vector armónico, de un poco menos de dos años por aquel entonces, fue presentado en el Congreso Ibérico de Astrología de Málaga (García, 1991). La figura 2 muestra la versión de ordenador del vector armónico de una carta, diseñada (sin mucho éxito) para motivar a los usuarios a que investigasen el artefacto. Otros usos del vector armónico aparecen en García (Madrid, 1994) y en Maciá & García (Valencia, 1994).
Figura 2.- Vector Armónico de una carta
En la discusión que sigue, puede aparecer cierta confusión del hecho de que estamos mezclando los números armónicos, generadores de las cartas armónicas, con los armónicos -los términos- del espectro de Fourier. A veces los términos armónicos en el espectro de Fourier serán subarmónicos del número armónico de la carta [armónica] -¿ven lo que quiero decir?-. He procurado, en el texto, hacer la distinción tan clara como me ha sido posible. Los términos en un espectro de Fourier se llaman también Coeficientes de Fourier.
El Conjunto de Partes de Cero Aries
Si tenemos una colección de puntos (léase: planetas) en el Zodiaco, podemos construir el Conjunto de Partes de Cero Aries combinando cada planeta con cada uno de la colección (y con sigo mismo), añadiendo al conjunto su separación angular medida desde 0º Aries. De hecho, todos los puntos que se obtienen aplicando la fórmula:
0º Aries + Planeta1 - Planeta2 cuando Planeta1 y Planeta2 recorren toda la colección.
De n puntos en la colección, obtenemos n2 partes en el conjunto. Como los Partes Arábicos, pero empleando el Punto Vernal en vez del Ascendente de la carta. Por supuesto, obtendremos n partes 'extra' del tipo tal-planeta-con-sigo-mismo en 0º Aries. Va contra el sentido común astrológico, pero es esencial para el tratamiento matemático.
El hecho notable en relación con esta construcción es que el espectro de Fourier de Deltas de Dirac en cada Parte (el Vector Armónico del conjunto, como si fuesen posiciones planetarias independientes) se deriva del VA de la colección original por medio de una fórmula sencilla. Omitiré los detalles matemáticos de la prueba.
Sea {[A(k), W(k)], k=0 hasta infinito} el VA de la colección original. Como se ha dicho, A(k) es la amplitud del k-ésimo armónico y W(k) su fase. Para k=0, el par [A(0),W(0)] de una colección de n puntos, llamado a veces armónico cero, es siempre [n,0]. Amplitud igual a n y fase cero.
El conjunto de Partes desde 0º Aries, de la colección, tiene PA = {[A2(k),0]} como vector armónico. Amplitud al cuadrado y fase cero. De nuevo, para k=0, obtenemos [n2,0] como armónico cero. Esta propiedad de ser los términos del VA de una colección el cuadrado de los términos de la otra sólo se cumple si incluimos en el conjunto de Partes cada planeta con sí mismo.
Fuerza Instantánea de un Número en el Harmograma como Aplicación de la Fórmula de Parseval para la Integral de Producto Escalar de dos Funciones.
Acercándonos al tema principal, consideremos el cálculo del valor instantáneo de una traza armónica en el harmograma, es decir, la fuerza de dicho número armónico concreto en la carta de un momento en el tiempo. Sumamos la intensidad de los aspectos, basados en el número del armónico, que cada planeta lanza sobre cada otro planeta (distinto) de la carta. Podemos, como hacen Kollerstrom & O'Neill, suprimir las conjunciones en el recuento; o incluirlas en el total, como hemos propuesto T. Macia y yo (Peñíscola 1994, Barcelona 1997) y estamos haciendo en la actualidad en nuestra investigación. Un tema que trataré luego.
La intensidad de un conjunto de aspectos armónicos variando como función de la separación angular entre dos planetas es lo que denomino Función de Intensidad de Harmograma. Por supuesto, a medida que un planeta, partiendo de la conjunción, recorre el círculo de separación angular con otro, entra y sale de orbe de los diversos aspectos del conjunto según los va atravesando. Y cabe esperar que la intensidad sea cero lejos de los aspectos partiles.
Probemos con una definición alternativa: un conjunto de aspectos armónicos es el conjunto de zonas en el círculo de separación angular de dos puntos, en las que el valor de la función de intensidad no es negligible. O también, según el contexto, puede considerarse como el conjunto de medidas angulares de los centros de los picos (los máximos) de la función de intensidad. Propongo al lector, como ejercicio antes de que siga leyendo, que trate de descubrir porqué no sirve esta definición simplista, en la práctica, para investigar la fuerza de los números en una carta. Haber comprobado que no funciona fue el motor de este artículo. Olvidemos esta definición y volvamos a las funciones de intensidad. La segunda acepción del término 'conjunto de aspectos armónicos' volverá a parecer con otro propósito más válido.
En la figura 3 se muestra la función propuesta -y usada- por Kollerstrom y O'Neill (K&O), y la que utilizamos T. Macia y yo (M&G), ambas para el armónico cinco como ejemplo. Más una tercera función del tipo empleado por nosotros, con distinto orbe, que voy a discutir más tarde. La figura se ha comprimido para mostrar más detalles, y se ha descentrado 180º (con respecto a lo habitual) para que pueda apreciarse la simetría de este tipo de funciones.
Figura 3.- Tres funciones de intensidad de harmograma
En cualquier caso, utilizamos los planetas de la colección para muestrear una función de intensidad centrada en cada planeta de la carta, como si un campo de fuerza emanase del planeta. Y sumamos la contribución de cada planeta en un total que es el valor instantáneo de harmograma para esa carta.
Lo interesante de proceder así es que lo que realmente estamos haciendo es calcular la integral de producto escalar <PA,f > entre la función de intensidad de aspectos f y la suma de Deltas de Dirac sobre el conjunto de Partes, definido antes, PA. Trabajando en el espacio de espectros de Fourier, esta integral de producto escalar se convierte en una simple serie -como dice el Teorema de Parseval (Apostol; y también Carslaw, 1930)-, que, si la función de intensidad f es más o menos normalita, se reduce a una suma aún más simple de unos pocos términos.
Sea {[A(k),W(k)]} como se definió antes, y sea {[F(k),O(k)]} el espectro de Fourier de la función de intensidad de aspectos. Si esta última función tiene simetría con respecto al planeta que la genera, O(k)=0º o 180º para cada valor de k. Entonces el producto escalar queda:
S A2(k) x F(k),
esta suma infinita se compondrá, en la práctica, de los términos para los que F(K) no sea cero o casi cero. Para que esta fórmula funcione bien hay que adoptar un criterio de signos que asigne valor negativo a F(K) cuando O(k)=180º. Llamaré a esta fórmula Fórmula de Parseval por razones obvias.
Nota matemática: Las sumas de Deltas de Dirac que estoy empleando son distribuciones más que funciones (Zemanian, 1965), lo que no invalida la Fórmula de Parseval.
Nota sobre implementación: Para conseguir, en un programa de ordenador, una correspondencia exacta entre el valor calculado mediante código al estilo de los harmogramas de K&O y código al estilo de la Fórmula de Parseval es esencial sumar todos los términos de las series de Fourier que sean suficientemente grandes, especialmente el término cero. Tuve que revisar varias veces la derivación matemática de esta aplicación de la fórmula, y el programa de ordenador que confeccioné para probarla, antes de obtener una auténtica correspondencia. Como el harmograma no contabiliza cada planeta con sigo mismo, deberían substraerse n puntos del valor obtenido por Parseval, para una colección de n planetas, y dividir el resultado por dos,
para obtener el mismo resultado. Fin de las Notas.
La figura 4 muestra el espectro de Fourier de las funciones de la figura 3. Las tres funciones están 'normalizadas' a un valor de pico de uno (norma L(infinito), no las normas más habituales L2 ó L1 ). Todas las funciones de intensidad, que uso en este trabajo para trazar harmogramas, estarán normalizadas así. A la izquierda de cada espectro está la figura picuda de intensidad en el círculo. Los espectros no se han dibujado a la misma escala para mejorar el detalle, y los valores de la amplitud en el gráfico se han multiplicado por 10000. Las líneas descendentes en el primer espectro son los armónicos no múltiplos de cinco, que hacen falta para suprimir el pico en la conjunción. Como puede probarse, los tres espectros se desvanecen rápidamente a cero. Nuestra función, siendo casi una gaussiana, se comporta aún mejor que la de K&O.
Figura 4.- Espectros de Fourier de las funciones de la figura 3
Vale la pena observar (figura 4) que excluir las conjunciones en la función de intensidad distorsiona, por así hablar, el espectro. Sólo es posible emplear la misma función de intensidad para subarmónicos -una petición implícita en la teoría de Addey- si dicha función tiene simetría en estrella. En ese caso, el espectro de una estrella de s puntas, con orbe W/s, contiene exactamente los términos del espectro de un único pico en cero grados -el espectro de un aspecto de conjunción- distribuidos por los armónicos múltiplos de s. Véase la figura 5. Es un resultado que emplearé luego en 'Un Procedimiento Alternativo para Calcular Harmogramas'. Observe que el espectro inferior se ha dibujado con el triple de términos armónicos que el superior. Y observe también que los que no son múltiplos de tres tienen amplitud cero (y que en la figura no se han rotulado).
Figura 5.- Comparación del espectro de Fourier de una estrella de tres puntas con el de una 'estrella' de una punta
En las tres figuras, 3, 4 y 5, los orbes se han 'equiparado' con el armónico uno, como propone Addey. Es decir, el orbe real de los aspectos es el orbe anotado dividido por el número de armónico. Una forma de proceder, apriorística en Addey, que empieza a tener fundamento matemático.
El Efecto de Variar el Orbe y una Discusión Adicional del Pico Desaparecido
La figura 4 muestra el espectro, para el mismo número armónico, de dos funciones de intensidad de tipo gaussiano con diferente orbe. Como puede verse, el efecto de disminuir el orbe se traduce en un decrecimiento del ritmo de decaimiento de los términos del espectro. En efecto, el perfil del espectro de Fourier de una función gaussiana es otra gaussiana, y el producto del ritmo de amortiguamiento -hablando de manera poco precisa- de ambas funciones es una constante. Así, variar el orbe equivale a modificar el número de subarmónicos que se contabilizan en la fórmula de Parseval. Cuanto más estrecho el orbe, más altos son los subarmónicos que se incluyen.
Otro hecho importante que se puede aprender de la figura 4 es que al suprimir un pico de la función de intensidad, en la conjunción, se complica en vez de simplificarse el espectro. Ya he comentado esto más arriba. Hay una línea de discurso diferente para justificar la inclusión de la conjunción en la función de intensidad, como hacemos aquí en España. Y es que, la frase repetida hasta la saciedad, en la literatura sobre armónicos, de que (cito a Hawley, 1995) Como la posición 0º es común a todos los aspectos armónicos, su contribución puede omitirse al determinar ...yerra completamente su objetivo dentro de la teoría armónica.
El punto [que no se comprende] es que el conjunto de los números naturales tiene estructura de retículo (redecilla) con la ordenación parcial m divide a n, que se reproduce en (es isomorfo con) el subretículo de todos los múltiplos de un número, para cada número natural. En otras palabras, la oposición está presente en todos los armónicos pares, el trígono aparece en todos los armónicos múltiplos de tres, etc. Llamemos conjunto de aspectos armónicos de un número al conjunto de todas las medidas angulares que son múltiplos de una fracción entera del círculo. El conjunto de aspectos del número nueve contiene el conjunto entero de aspectos del tres, no sólo la conjunción. El conjunto de aspectos del número diez incluye los cinco aspectos del cinco, y la oposición. Etc.
Así que, o bien empezamos a podar aspectos de todos los números armónicos compuestos -los que como el 4, el 6, el 8, el 9, etc. no son primos-, o incluimos también la conjunción en la función de intensidad. Además, no hay que olvidar que a la Naturaleza le gusta la simetría. De hecho, después de experimentar por un tiempo relativamente corto con conjuntos podados de aspectos armónicos -incluso acuñamos un término, el de aspectos propios de un número armónico, (Maciá & García, Barcelona 1997)- hemos vuelto a utilizar los conjuntos completos.
Nota: Cuando he tenido ocasión de leer El Efecto Eureka (K&O, 1996), después de tener prácticamente completo este trabajo, he comprendido que las razones aducidas por los autores, para no incluir la conjunción en los totales por aspectos, eran hasta cierto punto sensatas. Pero estoy convencido de que la verdadera naturaleza de la fenomenología astrológica es un tanto diferente de como se la percibe generalmente en estos tiempos -como deduzco de leer la literatura disponible-. Confío en que con este trabajo estaré vertiendo algo de luz sobre la materia.
Midiendo la Fuerza del Número [Uno] en una Carta
Hamblin realizó un trabajo concienzudo y convincente en su libro para exponer las posibilidades de las carta armónicas, tanto como ayudas en la interpretación natal cuanto como herramientas de investigación. Pero, como hice notar al principio, su experiencia y perceptividad no se pueden comprar en la tienda de material de laboratorio de la esquina.
Según descubría la relación entre espectros de Fourier y funciones de intensidad para el cálculo de harmogramas, me di cuenta de que disponía de la herramienta para intentar cuantificar los criterios de Hamblin. Antes de presentar los datos conviene repasar su manera de proceder.
Hamblin define la fuerza de una carta, armónica o no, como dependiente de la exactitud e interconexión de los aspectos y de los patrones de aspectos que contiene. Aunque es posible, a toro pasado, deducir teóricamente el equivalente de esta definición en términos del Análisis de Fourier, elegí seguir la vía empírica, que procedo a exponer: A medida que Hamblin presenta ejemplo tras ejemplo de cartas relevantes, para cada armónico tratado, tenemos derecho a suponer que valora cada carta de la misma forma con independencia del número armónico. Vale la pena hacer constar que, en un análisis minucioso de los datos, eso no es exactamente cierto en los ejemplos de Hamblin (aunque no intento hacer crítica de ello). En aras de la simplificación y el juego limpio supongamos que sí.
Un punto en el que el número del armónico interviene de manera visible es en la máxima separación entre Mercurio, Venus y el Sol. Hay otros fenómenos astronómicos, dependientes del número armónico, que influencian la dispersión de los planetas en una carta armónica, como ha sido correctamente señalado por otros autores (Hawley, 1995). Así que no proseguiré con el tema.
Y puesto que el número armónico no se toma en consideración al juzgar la fuerza de una carta armónica, podemos suponer que está midiendo la fuerza del número uno en cada carta. Por supuesto, el número uno en una carta armónica es el número de dicho armónico del radical.
El Procedimiento
Disponemos del Harmograma, con un repertorio de funciones de intensidad y de orbes, para medir la fuerza de un número en una carta, y tenemos el equivalente en Análisis de Fourier de dicho dispositivo. Así que vamos a hacer ingeniería inversa con el output del Sr. Hamblin. Probar cada posible función de harmograma, con las cartas de Hamblin, sería una tarea inabordable. Por fortuna el Análisis de Fourier puede desvelarnos el asunto.
Para cada carta en la muestra de Hamblin calculamos el espectro de Fourier de las Deltas de Dirac (mi Vector Armónico) de la carta armónica oportuna. Y totalizamos los cuadrados de las amplitudes de los coeficientes de Fourier en una tabla, que se muestra gráficamente en la figura 6 y dibujada como si fuese un espectro de Fourier. En esta tabla estamos sumando armónicos heterogéneos en cada casilla, pero confío en que, la discusión precedente, valida esta forma de proceder. Estamos tratando cada carta como si fuese el armónico uno, un radical.
Figura 6.- Análisis de las cartas de Hamblin
Nota: Preparé este artículo para enviarlo a la revista Correlation, cosa que no he hecho aún por diversas razones. De ahí que algunas de las figuras lleven rótulos en Inglés.
Una vez completados los totales, el gráfico de valores resultante debería ser una estimación del espectro de Fourier de la [buscada] Función de Intensidad de Harmograma, implícita en el trabajo de Hamblin.
Los Datos
Trabajando con un conjunto compuesto por 4 cartas del armónico cuatro, 9 de cada uno de los armónicos cinco y siete, y 10 del armónico nuevo, haciendo un total de 32 cartas. Y sumando las amplitudes al cuadrado del Vector Armónico correspondiente a cada carta armónica, la figura 6 revela los armónicos de peso para juzgar la fuerza de una carta. Sólo se omitió una de las cartas de la primera parte del libro debido a que, en palabras de Hamblin, era más débil. Más un par de ellas para las que los datos natales no estaban disponibles.
Resulta tranquilizador encontrar al menos cuatro de las cinco primeras potencias de dos como armónicos prominentes en la muestra. También encontramos los armónicos seis y doce como más débiles pero apreciables, no así en tres -quizás un armónico demasiado cómodo como para conferir fuerza a una carta-. En cualquier caso es el criterio de un astrólogo. Sorprende el pequeño valor del armónico dieciséis. El tamaño de la muestra no es muy grande. Tampoco encuentro relevante hacer un análisis de significación estadística. Años de analizar resmas de muestras de datos natales me han convencido de que sólo la replicación puede validar una inferencia estadística.
La tabla 1 resume los armónicos prominentes. Para obtener diez armónicos prominentes -para comparar la tabla 1 con la tabla 2 más adelante- deben incluirse armónicos altos o raros, que podrían ser artefactos del pequeño tamaño de la muestra.
Tabla 1. Pesos Armónicos según Hamblin
Armónico 4 2 8 32 6 12 52 31 40 44 Amplitud 5.89 5.80 5.70 5.63 5.21 4.85 4.77 4.38 4.30 4.21
La Función de Intensidad Inferida. Un Procedimiento Alternativo para Calcular Harmogramas
Para resumir este resultado, uno siente la tentación de construir una función a partir de los armónicos prominentes que se han obtenido. Y así lo he hecho en la con los seis primeros valores de la tabla 1. Pero la sugerencia es omitir el gráfico; trabajar, en cambio, con el Vector Armónico de las cartas; y aplicar como coeficientes los valores de la figura 6. O emplear cualquier otro sistema de coeficientes que pueda proponer tal o cual teoría.
Si hemos seleccionado un conjunto de pesos para los subarmónicos {F(k)}, es decir, empleamos funciones de intensidad con simetría en estrella: para juzgar la fuerza del número h en una carta, podemos proceder como sigue:
I. - Calcular las coordenadas del Vector Armónico para h, 2h, 3h, ... (k x h), etc.;
II. - Elevense al cuadrado y multipliquense por los pesos (formando terminos como A2(k x h) x F(k)); y
III. - Sumense todos los productos para obtener: S A2(k x h) x F(k) adding for k=0,1,2,...
IV. - (opcional) restar, del total, el numero de planetas incluidos y divídase por dos.
Si preferimos omitir la conjunción (o emplear cualquier otra función de intensidad que no tenga simetría en estrella) debemos extender la suma a todos los términos del VA para los que los coeficientes de Fourier de la función de intensidad no sean (casi) cero. Es preciso confeccionar una función de intensidad específica para cada número armónico h; calcular los coeficientes de Fourier {Fh(k)} de dicha función; y calcular: S A2(k) x Fh(k).
Nota: No se deben sacar conclusiones precipitadas mirando la figura 7. Confío en que, incluyendo el análisis de los datos de Hamblin en este trabajo, estoy poniendo de relieve la complejidad de los fenómenos armónicos tal como son percibidos cualitativamente por los astrólogos. No pretendo proponer una función alternativa -incluso estrambótica- para el cálculo de harmogramas. Trato de compartir mi forma de ver el tema principal.
Figura 7.- Síntesis de una función de harmograma a partir de los datos de Hamblin
Un Ejemplo que no Proviene de la Escuela de Addey
Aquí en España es bien conocido el trabajo de nuestro decano en la investigación astrológica, Demetrio Santos. Su técnica del C-60 define un valor de Astrodinas, calculado en el Zodiaco a partir de los aspectos planetarios a cada grado, más una manera de dirigir el Ascendente, con el fin de predecir crisis en la vida del nativo.
En forma gráfica obtenemos un dial cronográfico con una intensidad para las crisis potenciales, como se muestra en la figura 8. Mario Balagué me propuso, en una sesión privada de trabajo, la representación gráfica en 1993, y yo la incluí en mi programa de ordenador. Desde entonces, gran cantidad de investigadores y astrólogos de consulta están utilizando estos gráficos aquí. Y extendiendo la técnica, cambiando el arco de dirección de D. Santos, a otros ciclos y propósitos.
Figura 8.- Gráfico de Astrodinas del C-60 de D. Santos
El hecho pertinente sobre la función de astrodinas de D. Santos es que se calcula sumando la contribución de cada planeta. Cada planeta 'genera' una función de intensidad de astrodinas, como ocurre con los harmogramas. La simetría del gráfico de intensidad de un planeta por separado dará un espectro de Fourier con fases cero -con algunos coeficientes negativos, véase lo que sigue-. Aunque ahora no hace falta que se cumpla aquello para efectuar el análisis.
Aquí incluyo el tratamiento mediante Fourier de este artefacto porque, aunque diverge enormemente en origen y propósito, produce un resultado suficientemente parecido al de Hamblin. Un conjunto de pesos -coeficientes de Fourier- procede del análisis de la práctica de un astrólogo, el otro de una función de intensidad que brota directamente de la pura -y a veces cuestionable- teoría, no importa lo bien que resulte en la práctica.
En aras de la claridad debo señalar que esta función de astrodinas no se diseñó para calcular harmogramas. Además, no se realiza un muestreo de la función de cada planeta por los otros. Así que no es del todo legítimo hablar de 'pesos armónicos'. O podría resultar engañoso después de haber discutido aquí los datos de Hamblin. En vez de eso, vamos a considerar que un harmograma es una mezcla de 'energías' armónicas y compararlo entonces con otra mezcla: la función de astrodinas de Santos.
Sea, en la figura 9a, la función de intensidad de astrodinas que genera un planeta en 0º Aries, según la propuesta de Santos y Balagué. Y sea, en la figura 9b, su espectro de Fourier. La tabla 2 relaciona los primeros diez armónicos que se destacan, en orden de magnitud.
Figura 9a.- Forma de la función de intensidad de un planeta en el C-60 de D. Santos
Tabla 2. Pesos armónicos según D. Santos
Armónico 12 8 24 16 4 6 20 18 10 36 Amplitud 1.360 1.023 0.960 0.815 0.726 0.615 0.544 0.388 0.384 0.287
El gráfico y la tabla 2 hablan por sí mismos. De nuevo encontramos los números armónicos pares como prominentes. De nuevo una falta de prominencia de algunos de los enteros pequeños, el uno, el dos, el tres y el cinco, etc. Etc. Como la función de basa parcialmente en una figura en cruz, tenemos los primeros múltiplos de cuatro entre los armónicos prominentes. Ditto para la serie del 12.
Los armónicos con fase 180º -las líneas que van hacia abajo en la figura 9b-, equivalentes a pesos negativos, son de todas formas de pequeño valor. Aparecen como consecuencia de cierta agudeza en los picos de la función de intensidad, combinada con una cierta tendencia de la función a favorecer las oposiciones subarmónicas.
Figura 9b.- Espectro de la función de intensidad de un planeta en el C-60 de D. Santos
Nota: Santos (1976) no define un valor para el orbe de cada aspecto y/o la forma de la función de intensidad, sólo el valor máximo del pico en cada aspecto. Por lo menos hasta recientemente, dentro del trabajo en el que presentó un modulador zodiacal que él denomina 'cromatismo' (Santos, 1994), en el que define explícitamente al forma y el orbe para cada aspecto. M. Balagué fijó la anchura de los picos alrededor de seis grados en una primera implementación del dial C-60, que más tarde, por mi intervención, se convirtió en la herramienta de uso generalizado aquí. Por supuesto, la anchura de los picos se refleja en el espectro de Fourier. He elegido la implementación usual como ejemplo para el análisis.
Conclusiones
A parte de contribuir con un modelo matemático de los harmogramas, un recurso siempre conveniente -con independencia de cuáles sean sus ecuaciones- en cualquier disciplina que aspire a una aproximación científica a los fenómenos pertinentes, este trabajo muestra, en los detalles del modelo matemático, que los harmogramas de hecho miden la proyección de las 'energías' planetarias sobre cada número natural.
Si aceptamos una de las hipótesis armónicas implícitas en el trabajo de Addey, la que dice que cada número natural se manifiesta en todos sus múltiplos (Addey, 1972, 1976); y consideramos que la energía de una onda sinusoidal pura es proporcional al cuadrado de su amplitud, llegamos a un modelo para los harmogramas que es también un modelo cuasi-físico.
Aceptando esta línea de discurso, el harmograma se alza, desde el nivel de artefacto heurístico, a la categoría de instrumento (quasi-) científico. Este autor (yo) se ha convencido, en los últimos cuatro años -que incluyen los que estuve empleando mi primer boceto para esta herramienta: los tránsitos armónicos (Maciá & García, Peñíscola 1994)-, de que en efecto los harmogramas son una herramienta muy eficaz. Por supuesto, ya que me interesé por un modelo matemático de los mismos a causa de dicha eficacia Tal vez la renacida Astrología, como era anunciada por Addey (1972), está haciéndose ya mayorcita.
Por los que respecta al análisis de las mezclas armónicas de Hamblin y Addey, no tengo una conclusión definitiva. Los espectros obtenidos de ambos conjuntos de datos difieren cualitativamente de la típica función de harmograma. El énfasis en ambas muestras es en los armónicos múltiplos de dos, incluso en las potencias de dos.
¿Deberíamos cambiar la forma de las funciones de intensidad que empleamos para calcular la intensidad de los números armónicos en los harmogramas? No estoy muy seguro. La parsimonia aconseja, para la intensidad de los picos y/o para los espectros de Fourier, formas de onda como las que ya estamos usando (gaussianas o parecidas a gaussianas); ya que este tipo de función se encuentra por lo general en otras ramas de las Ciencias naturales.
¿Deberíamos, utilizando los harmogramas tal como están, buscar la fuerza de un número h en un momento del tiempo en la traza de harmograma de 2h, puesto que los armónicos pares son los más prominentes en las ondas/muestras estudiadas? ¿En la traza de 4h? De nuevo no estoy seguro, pero me inclino a responder que NO. Pienso que, antes de efectuar elecciones, necesitamos una mejor comprensión de los fenómenos subyacentes.
En cualquier caso, lo que debería quedar claro es que la fuerza de los números tal como la miden los harmogramas difiere de los criterios del astrólogo experimentado. No debería sorprender que los astrólogos den más peso a los armónicos pares, puesto que el dos es el primer número de la manifestación (véase Addey, Hamblin, etc.). Soporto la teoría de que los pesos utilizados por los astrólogos en todo tipo de Astrología 'cuantitativa' dependen del propósito del dispositivo de medida en que se emplean. Es un tema abierto, bastante más allá del alcance de este artículo.
Hay otra manera de encarar el tema de los pesos relativos de los distintos armónicos (o de los espectros de las funciones de intensidad), considerando todos los armónicos simultáneamente en un círculo, según la línea iniciada en Maciá & García (Barcelona 1997), que, de nuevo, queda fuera del alcance de este artículo.
Reconocimientos
Como puede inferirse del texto y las referencias, mi trabajo en el tema de los armónicos, incluyendo la teoría y el uso de los harmogramas, carecería de sustancia sin el trabajo de campo de mi colega T. Maciá. Desde el verano de 1993, en que le di la primera versión para ordenador de las herramientas que estamos usando, ha estado poniendo a prueba estas ideas y contribuyendo a la comprensión simbólica de los números que es esencial en toda investigación sobre los armónicos. En el entorno de T. Maciá, varias personas, como J. Canals y J. M. Saiz, han contribuido en gran medida en el terreno simbólico, en el interpretativo y en el trabajo de campo.
Apéndice Uno: Cómo Calcular el Vector Armónico
El Vector Armónico de un conjunto de posiciones planetarias {pi, i=1..n} es el espectro de Fourier de la suma de una Delta de Dirac periódica en cada posición planetaria pi.
Para obtenerlo, para cada número natural h (h=0,1,2..infinito), calcular:
C(h) = S Cos(h x pi) y S(h) = S Sin(h x pi), sumas que se extienden sobre los n valores en el conjunto de posiciones. A continuación, obtener la amplitud y la fase del h-ésimo armónico con:
A(h) = Sqrt(Sqr(C(h)) + Sqr(S(h)))
W(h) = ArcTan(S(h)/C(h))
Hablando geométricamente cada pareja [A(h),W(h)] es el par de coordenadas polares de la suma vectorial de un vector (de longitud 1 y ángulo h x pi) por cada posición planetaria que hay en el conjunto. Para h=1 obtenemos la Resultante Planetaria de A. Boudineau. Es más, por cada h, la h-ésima coordenada del Vector Armónico de una carta radical es la Resultante Planetaria de la carta del armónico h.
Apéndice Dos: El Indice Cíclico como Harmograma
Un harmograma al estilo de Kollerstrom & O'Neill para el armónico uno calcula la intensidad de la conjunción como el orbe máximo permitido menos el orbe instantáneo. El índice cíclico de Gouchon y Barbault (Barbault 1979, véase también Baigent, etc. 1984) se calcula sumando las medidas de separación angular de todas las parejas que se pueden formar con los planetas exteriores más Júpiter y Saturno.
Debería resultar obvio que su admitimos un orbe máximo de 180º para la conjunción, el armónico uno en un harmograma -que incluya de Júpiter a Plutón- reproduce la forma invertida del índice cíclico. Véase la figura 10. Lo que afirmaba en la Introducción en relación con esta materia queda demostrado.
Figura 10.- Indice Cíclico de Gouchon/Barbault comparado con el harmograma equivalente
En el texto he propuesto, con el fin de entender las 'energías armónicas' implicadas, calcular el espectro de Fourier de la función de intensidad que se use para calcular un harmograma. Hagámoslo:
El espectro de una onda triangular que se eleva linealmente desde cero, a una distancia de 180º, hasta 1 en la conjunción partil -hasta 1, puesto que empleo funciones normalizadas- se muestra en la figura 11. A la vista de la figura 11, omitir todos los armónicos salvo el primero, me parece la simplificación más natural que se puede efectuar sobre este espectro. Y como siempre resulta conveniente disponer de un sumando constante con el fin de evitar valores negativos en el harmograma, digamos que mi función de intensidad es:
Figura 11.- Espectro de una función de harmograma para el Indice Cíclico
F0 + F1 x Cos(w), donde w es la separación angular cuya intensidad quiero medir. Como empleo funciones normalizadas no negativas, conviene hacer ambos coeficientes iguales y dividir la suma por el valor máximo para obtener un valor de 1 en la conjunción partil. Esto nos da {F0 = 0.5 y F1 = 0.5}.
Una vez calculado el vector armónico {[A(0),W(0)], [A(1),W(1)], ...} del conjunto de posiciones de Júpiter hasta Plutón en cada momento del tiempo -y sólo necesitamos las componentes 0 y 1, puesto que los demás coeficientes de la función de intensidad son cero-, obtenemos una dinámica para el armónico uno como la que se muestra, en la figura 12, junto a la traza del harmograma que representaba en la figura 10. La concordancia es tan buena, puesto que los armónicos suprimidos tienen bajo coeficiente, que me he visto obligado a desplazar una de las dos trazas de la figura 12. La fórmula final para estos harmogramas simplificados es:
n2/2 + (A(1))2/2, como función del tiempo
Figura 12.- Harmograma de espectro simplificado (sin subarmónicos) de Júpiter a Plutón, comparado con la traza de harmograma de la figura 10
Así que el índice cíclico tiene el comportamiento de (no quiero decir una correspondencia exacta, a la cifra decimal, con) el cuadrado de la coordenada uno del vector armónico del conjunto de posiciones planetarias desde Júpiter hasta Plutón: La Resultante Planetaria de Boudineau [al cuadrado] para esos planetas. Si Boudineau hubiese dibujado la evolución en función del tiempo de su Resultante Planetaria, y hubiese visto sus implicaciones, tal vez ello le hubiese conducido, medio siglo antes, al descubrimiento de mis ideas que estoy presentando aquí, sobre armónicos y harmogramas. Si ocurrió, no tengo noticia, aunque menciona que su artefacto podría ser útil en Astrología Mundial.
He sacado a colación este ejemplo por su interés histórico (que confío en que tiene), y porque es el primer ejemplo de un tipo especial de harmograma que denomino harmograma de armónico único. En ellos omito el factor constante y no empleo el cuadrado de la amplitud. No voy a desarrollar más aquí la idea, pero sé desde mis primeros experimentos con el vector armónico en 1990 y 1991 que tienen cierto potencial intrínseco, como herramienta especial, a parte de lo que he expuesto aquí (véase García, 1991).
Y puesto que hablamos de Barbault y del Indice Cíclico, presento la figura 13, como provocativo final.
V1 puede leerse como comportamiento autónomo/ejercicio de la voluntad.
V2 como identificación de enemigos/formación de bandos.
V3 como desarrollo/expansión/movimiento/fluir.
Figura 13.- Harmograma 'de armónico único' para el periodo de la Segunda Guerra Mundial
Referencias
Addey, John (1972). Astrology Reborn.
Addey, John (1976). Harmonics in Astrology. Fowler.
Apostol, Tom M. Análisis Matemático. Addison-Wesley, 2nd edition.
Baigent M., Campion N. and Harvey C. (1984). Mundane Astrology. Aquarian.
Barbault Andre (1979). Astrología Mundial.
Boudineau, Andre (1985). Bases Scientifiques de l'Astrologie. Editions Traditionnelles.
Brahy, L. G. (?). La Clef des Evenements Mondiaux. ¿?.
Carslaw, H. S. (1930). An Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals. Dover edition de 1950.
Dean, Geoffrey. (1996). Key Topic 3 - Theories of Astrology. Correlation 15-1, p35.
García, Miguel (1991). El Análisis Armónico como Modelo de Técnicas Astrológicas. Presentado en el VIII Congreso Ibérico de Astrología en Málaga. Incluido en esta recopilación.
García, M. (1994) Naturaleza Holográfica de la Impronta Natal. Papeles del Primer Encuentro de Astrólogos en Madrid. Revista Sol y Luna. (Incluido en esta recopilación).
Hamblin, David (1983). Harmonic Charts. Aquarian.
Hawley, Kevin (1995). The Determination of Expected Harmonic Aspect Frequencies. Correlation 14-1, p38.
Kollerstrom, N. & O'Neill, M. (1991). The Harmogram. Publicado privadamente por los autores.
Kollerstrom, N. & O'Neill, M. (1996). The Eureka Effect. Urania Trust.
Maciá, T. & García, M. (Valencia, 1994). Figuras de Aspectos: Teoría y Práctica. Papeles del XI Congreso Ibérico de Astrología en Valencia.
Maciá, T. & García, M. (Peñíscola 1994). Tránsitos Armónicos. Papeles del VI Encuentro Astrológico en Peñíscola.
Maciá, T. & García, M. (Barcelona, 1997). Armónicos: Teoría y Práctica. Presentado en el Congreso Internacional de Astrología de Barcelona. La parte Teoría incluida en esta recopilación.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. 3rd edition. McGraw-Hill.
Santos, Demetrio (1976). Investigaciones sobre Astrología. Editora Nacional.
Santos, D (1994). Principios Astrológicos y Casas Fotoeclípticas. Papeles del VI Encuentro Astrológico en Peñíscola.
Zemanian, A. H. (1965). Distribution Theory and Transform Analysis. Dover edition de 1987.
http://cura.free.fr/xxv/25garcias.html
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